MATEMATICAS

Numeros Complejos

Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z=(x,y) con las siguientesoperaciones:

Con estas operaciones C tiene la estructura de cuerpo conmutativo

	Elemento neutro:
	Elemento opuesto:
	Elemento unidad:
	Elemento inverso: , siempre que

Nótese que el complejo (0,1) verifica , es decir, (link a explicación de extensión de R añadiendo raices de ecuaciones algebraicas )

	El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación algebraica (polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las tiene todas).
	El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puede darse en C una relación de orden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.

Otras formas de representar los números complejos

1. Forma binómica.

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores  y  su suma es 

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de  es .

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de  es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que

, .

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si  es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor  tal que , y se denota 

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si , para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, . 

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar	Cambio de polar a binómica

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma .

Raíces n-ésimas de un número complejo

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado , sea , para un número natural p.

Si , puesto que , es decir, . Por tanto, , y además, , o sea, , para .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en  cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio .

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de  

FILOSOFIA

LA TEORÍA DE LAS IDEAS EN PLATÓN Y SU DIMENSIÓN
ANTROPOLÓGICO-SOCIAL

INTRODUCCIÓN

La teoría de las Ideas es el núcleo central de la filosofía platónica: ontológicamente las Ideas son los únicos objetos verdaderamente reales; epistemológicamente son los objetos del conocimiento auténticamente tal; en la esfera moral y política, son el fundamento de la conducta justa, y antropológicamente están a la base del dualismo platónico y le permiten incluso la demostración de la inmortalidad del alma.

I. LA TEORÍA DE LAS IDEAS Y LA ONTOLOGÍA PLATÓNICA

Platón defendió un claro dualismo ontológico, creyendo en la existencia de dos tipos de realidad: el mundo sensible y el mundo inteligible. En el Mundo Sensible encontramos las realidades individuales, materiales, temporales, espaciales, multiplicidad, cambio, generación y destrucción; es el conjunto de cosas perceptibles por los sentidos. El Mundo Inteligible consta de realidades universales, en él se da la unidad; es el Mundo de las Ideas (o "Formas"). Las Ideas son inmutables, eternas, invisibles, inmateriales, atemporales, aespaciales y se conocen por la razón; es la auténtica realidad. Las Ideas no son conceptos o sucesos psíquicos, son entidades extramentales, objetivas e independientes del hombre. Las Ideas son causas de las cosas: aunque ellas sean el auténtico ser, Platón no negará toda realidad a lo que se da a los sentidos; el mundo sensible, aunque ontológicamente inferior a las Ideas, posee también cierto ser, que le vendrá dado por su imitación o participación de las Formas. La tarea del Demiurgo será precisamente hacer que la materia informe, existente desde siempre, tome rasgos semejantes a las Ideas. El mundo de las Ideas está ordenado jerárquicamente pues hay distintos tipos de Ideas y no todas son valoradas del mismo modo: Idea de Bien, otras Ideas morales; Ideas estéticas, Ideas de Multiplicidad, Unidad, Identidad, Diferencia, Ser, No Ser, Ideas matemáticas y otras Ideas (Idea de Hombre...). Platón sitúa a la Idea de Bien en la cúspide de ese mundo; a veces la identifica con la Idea de Belleza e, incluso, con Dios. La Idea de Bien causa lo real pues la conducta humana se hace con vista a ella y todo lo real tiende a ella (finalidad intrínseca en la naturaleza).

Platón ofrece varios argumentos para la defensa de las Ideas, veamos dos. El uso del lenguaje y el problema de la referencia de los términos universales: términos como los nombres comunes, adjetivos y los sustantivos abstractos, inducen a pensar en entidades distintas a las individuales, puesto que pueden utilizarse para referirse a una pluralidad de objetos; Platón mantendrá que deben existir unas entidades que sean el correlato de los términos universales y distintas de los individuos: la Bondad sería el correlato de "bondad", la Belleza de "bello"...; a dichas entidades las llama “Ideas”. La posibilidad del conocimiento científico: la ciencia estricta no puede hacerse de lo que cambia continuamente, las cosas sensibles están en continuo cambio, luego la ciencia (el conocimiento siempre verdadero) no se puede referir a las cosas sensibles sino a entidades inmutables. Platón creyó que la matemática es un conocimiento de esta calidad y siemprees verdadero, por lo que debemos pensar que en el mundo hay cosas que no cambian. La ciencia que busca Platón será aquella que, como la matemática, usa la razón y posee aquel tipo de universalidad; creerá que es posible un saber análogo, e incluso superior (la dialéctica), en ámbitos de lo real distintos al matemático; y ambas disciplinas serán conocimiento estricto precisamente por referirse a entidades inmutables (a las "Ideas").

II. EL MITO DE LA CAVERNA, COMPENDIO DE LA FILOSOFÍA PLATÓNICA

Platón dice expresamente que el mito de la caverna sirve para ilustrar cuestiones relativas a la teoría del conocimiento. Pero tiene también claras implicaciones en ontología, antropología e incluso política y ética. Nos pide Platón imaginar que somos como unos prisioneros que habitan una caverna. Estos prisioneros desde niños están encadenados e inmóviles de tal modo que sólo pueden ver el fondo de la estancia. Detrás de ellos y en un plano más elevado hay un fuego que la ilumina; entre el fuego y los prisioneros hay un camino más alto al borde del cual se encuentra una tabique. Por el camino desfilan unos individuos portando unas esculturas que representan los más variados objetos. Dado que entre los individuos que pasean por el camino y los prisioneros se encuentra la pared, sobre el fondo sólo se proyectan las sombras de los objetos portados por dichos individuos. En esta situación los prisioneros creerían que las sombras que ven y el eco de las voces que oyen son la realidad. Señala Platón que el prisionero liberado va poco a poco descubriendo niveles de realidad cada vez más auténticos: primero miraría los objetos del interior de la caverna y la luz del fuego presente en ella, después saldría al exterior de la caverna y vería primero las sombras de los objetos, después los reflejos de los objetos en el agua y luego los objetos mismos. Finalmente percibiría el Sol, concluyendo que es lo que produce las estaciones y los años, gobierna todo el ámbito visible y que es la causa de las cosas que ellos habían visto. Al recordar su antigua morada, la sabiduría allí existente y a sus compañeros de cautiverio, se sentiría feliz y los compadecería; esa vida le parecería insoportable. Pero a pesar de todo, regresaría al mundo subterráneo y aunque pudiera perder la vida en el intento bajaría para ayudarles en su liberación.

Platón nos da las principales claves para la interpretación del mito: la región visible es una metáfora de la morada-prisión y la luz del fuego que hay en ella del poder del Sol. El ascenso y contemplación de las cosas exteriores (metáfora del Mundo de las Ideas) es semejante al camino del alma hacia el ámbito inteligible. El objeto último y más difícil de alcanzar del mundo cognoscible es la Idea del Bien (simbolizado en el mito con el Sol, último objeto percibido por el prisionero), causa de todas las cosas rectas y bellas; en el mundo visible ha engendrado la luz y al Sol, y en el ámbito inteligible es la productora de la verdad y de la inteligencia; es la realidad que es necesario ver para poder obrar con sabiduría tanto en lo privado como en lo público.

III. LA TEORÍA DE LAS IDEAS Y LA EPISTEMOLOGÍA PLATÓNICA

En Platón la posibilidad del conocimiento estricto tiene como fundamento su teoría de las Ideas, que divide lo real en dos ámbitos ontológicamente distintos y a los que le corresponderá saberes muy distintos: laciencia, se ocupa de las Ideas, lo permanente, y la opinión, o conocimiento del mundo sensible, de lo que está sometido a generación y corrupción, y se divide en creencia (referida a los animales, plantas y cosas fabricadas) y conjetura (referida a las "sombras" y reflejos). En la CIENCIA, distingue Platón el pensamiento discursivo y la dialéctica. El primero se identifica con la matemática, que, a pesar de su valor, posee dos deficiencias: el uso de signos sensibles y el apoyarse en hipótesis: el matemático no reflexiona sobre el ser de los objetos con los que trata (los números, p. ej.). La dialéctica es el conocimiento superior, se refiere al Mundo de las Ideas, a lo inmutable y universal, lo eterno, y se identifica con la filosofía. Platón la concibe de dos modos: como método racional que no usa de signos sensibles, pues emplea sólo la razón, ni descansa en "hipótesis", pues intenta prescindir de todo supuesto; la filosofía (= dialéctica) es el saber más reflexivo, el saber que no deja ninguna cuestión sin examen o evaluación; el objetivo de la dialéctica es descubrir las relaciones existentes entre las Ideas. La auténtica filosofía es "una ascensión al ser": el filósofo (el dialéctico) debe “ascender” del mundo sensible al Mundo Inteligible o de las Ideas y en éstas a la Idea del Bien, fundamento del ser y de la inteligibilidad de las Ideas y de todo lo real. Pero Platón también entiende la dialéctica como impulso erótico: el filósofo ascenderá desde el plano sensible al inteligible; dicho ascenso no será sólo intelectual, y no acabará como antes en la Idea del Bien sino en la Idea de Belleza. El motor de dicho ascenso será un impulso erótico y el objeto del amor la belleza.

IV. DIMENSIÓN ANTROPOLÓGICA DE LA TEORÍA DE LAS IDEAS

El dualismo ontológico "mundo sensible/mundo inteligible" tiene su paralelo en su antropología en el netodualismo entre el cuerpo y el alma. Platón concibe al hombre como un compuesto de dos sustancias distintas: el cuerpo, que nos vincula al mundo sensible, y el alma con el mundo inteligible. El alma humana es superior al del cuerpo debido a que el alma es el principio de conocimiento y de bondad, pero más aún a que el cuerpo está sometido a corrupción y muerte mientras que el alma tiene un destino inmortal. Platón utiliza varios argumentos para demostrar la inmortalidad del alma, destacando el que se basa en la teoría de la reminiscencia: según Platón, no cabe tener una experiencia de conocimiento completamente original: cuando afirmamos que una proposición matemática es verdadera, por ej., no es porque la hayamos aprendido, es más bien porque recordamos las relaciones existentes entre las Ideas y que nuestra alma vio en el Mundo de las Ideas antes de encarnarse en nuestro cuerpo. La percepción del mundo sensible no puede servir de fundamento al conocimiento estricto y, puesto que poseemos tal conocimiento, éste ha de provenir de una experiencia anterior. Por tanto conocer es actualizar un conocimiento ya vivido, conocer es recordar.

Para Platón el alma es un principio que se mueve a sí mismo y es fuente de movimiento. Pero el alma destaca frente al cuerpo por otro aspecto más importante: nos iguala a los dioses y permite el conocimiento de las Ideas. Platón encuentra tres partes en el alma humana: la parte racional, representada en el mito del carro alado por el cochero; es la más noble y elevada, y su función es conocer intelectivamente y guiar a las otras dos; la parte irascible, representada por el caballo bueno y hermoso, símbolo del valor y la voluntad, se deja conducir fácilmente; y la parte concupiscible, representada por el caballo malo, difícil de guiar, símbolo del deseo y la pasión sensible inmoderados. El alma busca la liberación del cuerpo y en esa búsqueda practica la filosofía como aproximación intelectual al mundo que le es propio. La parte racional del alma debe intentar purificar al individuo de los apetitos sensibles, y le corresponde dirigir la conducta humana. El dualismo antropológico de Platón se caracteriza por mantener una radical escisión en el hombre: dirá que hay dos principios en el ser humano: el alma inmortal, lo más divino que hay en nosotros, principio de conocimiento y moralidad; y el cuerpo, origen de la ignorancia y del mal. Para Platón el cuerpo y las pasiones que se vinculan con él son responsables de todas nuestras desgracias y sufrimientos. La tarea más importante del hombre será por ello, la práctica de la virtud, basada en la renuncia a los apetitos corporales, y la práctica de la filosofía. Lapurificación moral e intelectual tiene como objeto que las almas se dejen guiar por lo que es justo y recto y de ese modo cumplan con su destino último, la morada divina, en donde preexistían.

V. CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA DE LAS IDEAS EN ÉTICA Y POLÍTICA

a) La teoría de las Ideas de Platón implica la superación del relativismo moral de los sofistas: las Ideas de Justicia, Bondad, serán criterios para discernir lo bueno y lo justo, pues son ellas mismas valores. La ética de Platón tiende a averiguar lo que sea el Sumo Bien para el hombre, Bien en cuya consecución consiste la felicidad y al que se llega mediante la práctica de la virtud. Caben dos interpretaciones del Sumo Bien: la vida buena no puede ser ni el placer sólo ni la sabiduría sólo, sino una mezcla de ambos, pues el hombre no es ni pura animalidad ni pura inteligencia. Sin embargo, según otros intérpretes, Platón mantiene que el Bien absoluto para el hombre son las Ideas, cuya contemplación es la felicidad suprema. En este sentido, la virtud, como medio para acceder al Sumo Bien, desempeña una función análoga a la dialéctica como método para llegar al Mundo Inteligible. Mediante la práctica de la virtud se accede al Sumo Bien y, por tanto, a la suprema felicidad; la virtud es el estado del alma que le corresponde por naturaleza, y como el alma tiene tres partes habrá una virtud peculiar para cada una de ellas: a la parte concupiscible le corresponde la templanza, o continencia de los placeres; a la parte irascible, la fortaleza o valor, y a la parte racional la virtud de lasabiduría o prudencia que se encarga de regular la totalidad de las acciones humanas. La virtud del alma en su conjunto, es la justicia, entendida como armonía u orden entre esas tres partes. Junto con esta interpretación de la virtud, Platón mantendrá otra más intelectualista y más relacionada con la teoría de las Ideas: la virtud es el conocimiento de lo que es bueno para el hombre, o mejor, de la Idea de Bien, y se identifica esencialmente con la sabiduría o prudencia.

b) El rey-filósofo. Platón creerá que el hombre es un ser social por naturaleza; ello explica la aparición del Estado (la Polis). El individuo puede alcanzar su máxima realización en el Estado, pero para ello el Estado deberá ser perfecto. En el análisis del Estado, Platón utilizará una división tripartita análoga a su división del alma; el Estado es un gran organismo que tiene las mismas necesidades materiales y los mismos fines éticos que el hombre. A cada parte del alma le corresponde una clase social: a la parte racional la clase de losgobernantes, que son los filósofos; al alma irascible, la clase social de los guerreros; a la concupiscible, la de los artesanos. Los filósofos, cuya virtud es la sabiduría o prudencia, son los únicos aptos para el gobierno; los soldados, (su virtud es la fortaleza) deben defender y guardar la polis; los artesanos (su virtud es templanza) suministran los medios materiales que la comunidad necesita. El fin del Estado es la justicia, el cumplimiento del bien común para todos los ciudadanos, que sólo es posible cuando todos los elementos que componen la sociedad realizan su propia función. De entre todas las clases sociales destaca la de los dirigentes: para Platón, puesto que cabe el conocimiento del Bien (de las Ideas), es legítima la tutoría de los que han tenido acceso a dicho Bien (los filósofos) sobre el resto de los ciudadanos; el filósofo ha de ser el gobernante, o los gobernantes han de ser filósofos.

c) El "comunismo" platónico. Puesto que los filósofos deben buscar el bien general, con el fin de evitar tentaciones interesadas y distracciones inútiles no poseen propiedad privada alguna, ni mujer, ni hijos propios. También los soldados renuncian a la familia y a la propiedad privada. Sólo a los artesanos se le permite la propiedad privada (limitada y controlada por el Estado) y los vínculos familiares estables. En este Estado ideal sólo los mejores, una minoría muy selecta, ostentan el poder. Es un Estado de clara inspiración aristócrata. Finalmente, junto con la descripción de la sociedad ideal, Platón hace también una descripción y valoración de las formas reales de gobierno: existen cinco formas de gobierno; de la monarquía o aristocracia, por degeneración sucesiva, surgen las demás: la timocracia, la oligarquía, la democracia y, la peor de todas, la tiranía.

FISICA II

Ramas de la Física 

En los comienzos el desarrollo de las ciencias, nuestros sentidos eran la fuente de información que se empleaba en la observación de los fenómenos que se producen en la naturaleza. Por ello el estudio de la ciencia se desarrolló subdividiéndola en diversas ramas, cada una de las cuales agruparon fenómenos relacionados con el sentido por el cual se percibían. Así surgieron:


2.1 La mecánica: rama de la física que estudia los fenómenos relacionados con el movimiento de los cuerpos. De manera que cuando estudiamos el movimiento de caída de un cuerpo, el movimiento de los planetas, el choque de dos automóviles estamos, etc. estamos hablando de fenómenos mecánicos.

2.2 El calor: (o termodinámica) como su nombre lo indica esta rama de la física estudia los fenómenos térmicos. La variación de temperatura de un cuerpo, la fusión de un elemento, la dilatación de un cuerpo caliente, etc. Son fenómenos que se estudian en esta rama.

2.3 La acústica: en esta parte estudiamos las propiedades de las ondas que se propagan en un medio material, por ejemplo las ondas formadas en una cuerda o en la superficie del agua, aquí además se estudian los fenómenos audibles o sonoros, porque el sonido no es mas que un tipo de onda que se propaga en los medios materiales.

2.4 La óptica: es la parte de la física que estudia los fenómenos visibles relacionados con la luz. La formación de nuestra imagen en un espejo, la observación de un objeto distante atreves de un lente, la descomposición de la luz blanca en una gama de colores atreves de un prisma, etc. Son todos fenómenos ópticos

2.5 La electricidad: en esta rama de la física se incluyen todos los fenómenos eléctricos y magnéticos. De modo que se estudian aquí las atracciones y repulsiones entre cuerpos electrizados, el funcionamiento de los diversos electrodomésticos, las propiedades del imán, la producción de un relámpago en una tempestad, etc.

2.6 La física moderna: Esta parte abarca el desarrollo que alcanzo la física durante el siglo XX, incluyendo el estudio de la estructura del átomo, del fenómeno de la radioactividad, de la teoría de la relatividad de Einstein, etc.

QUIMICA

Quimica Organica: Hidrocarburos

Es tiempo de hablar un poco de química, y en esta ocasión nos estaremos refiriendo a una de las energías no renovables que más se utiliza diariamente, además de que seguramente muchos los conocerán de sus clases de Química Orgánica, ya que comprenden a uno de los tantos grupos de compuestos básicos.

Los hidrocarburos son, justamente, compuestos orgánicos que están formados solamente por la combinación de distintos átomos de Carbonojunto con Hidrógeno, conformando una especie de armazón de átomos deCarbono uniéndose a los otros, en uniones químicas que pueden serlineales, abiertas o ramificadas.

Clasificación de Hidrocarburos

La clasificación está basada en la estructura de los enlaces o uniones entre ambos átomos, dividiéndose en:

Hidrocarburos de cadena abierta:

• Hidrocarburos saturados: No poseen enlaces dobles, triples o aromáticos, contando solo con múltiples enlaces individuales dispuestos en cadena. Comprende a los alcanos y parafinas.
• Hidrocarburos no saturados: Poseen al menos un enlace doble (alquenos y olefinas), enlaces triples (alquinos o acetilénicos) entre los átomos de Carbono.

Hidrocarburos de cadena cerrada:

• Ciclo alcanos: Cadenas cerradas de 3 a 8 moléculas de Carbonosaturados o no saturados
• Aromáticos: Poseen al menos un anillo aromático además de otros enlaces.

Productos con Hidrocarburos

La explotación de los hidrocarburos con fines comerciales es una de las principales actividades económicas, muchas veces influyendo directamente sobre la economía de un país, por lo que aprovechar estos recursos suele ser vital para el crecimiento de una nación.

De su explotación podemos distinguir dos principales productos:

• Petróleo: Su extracción se realiza en los denominados yacimientos petrolíferos, donde se encuentran en estado liquido y rodeados de una formación geológica característica.
• Gas Natural: Hidrocarburos en estado gaseoso que suelen estar acompañados de petróleo.

A su vez, los hidrocarburos también son utilizados para la producción deplásticos, una gran variedad de ceras, y distintos lubricantes de múltiples aplicaciones, desde la industria automotriz hasta la fabricación depinturas, aceites y barnices.

Intoxicaciones

Además de que su quema genera una gran cantidad de dióxido de carbono perjudicial para el medio ambiente, es una de las causas principales de intoxicación, siendo en mayor medida absorbida por vías respiratorias, y en menor medida por una ingesta accidental.

Lo principal es una asistencia médica inmediata, en muchos casos requiriendo una ventilación mecánica, y evitar la inducción al vómito, ya que al contrario de subsanar el error, lo agrava pudiendo causar daños al tracto esofágico.